miércoles, 26 de febrero de 2020

SEMANA 14

TEOREMA DE LÍMITE INFERIOR Y SUPERIOR

TEOREMAS DE ANÁLISIS PLÁSTICO


Teorema de límite inferior (teorema estático)

• Campo tensional en equilibrio con acciones exteriores

• Respeta ecuación constitutiva Reacciones menores o iguales a la de falla



Teorema de límite superior (teorema cinemático)

• Mecanismo con trabajo igual a energía disipada

• Respeta ecuación constitutiva Reacciones mayores o iguales a las de falla 


 HIPÓTESIS:


Todas las cargas externas se incrementan proporcionalmente al mismo tiempo - El comportamiento

del material es Rígido-Plástico - Las deformaciones son pequeñas Se pueden enunciar dos teoremas:



1)      TEOREMA DEL LÍMITE INFERIOR (TLI) o TEOREMA ESTÁTICO


2)      TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR (TLS) o TEOREMA CINEMÁTICO



El análisis plástico de todos los tipos de estructuras (de barras, placas, cáscaras y volumétricas) se 

basa en dos pilares fundamentales, que son los 2 Teoremas del Análisis Plástico cuyos nombres se 

citan arriba. Adicionalmente, en el caso del análisis de placas que se estudia en este curso, se agregan

 las hipótesis adicionales de aplicación monotónica de cargas, comportamiento rígido plástico de las 

secciones, y pequeñas deformaciones.


TEOREMA DEL LÍMITE INFERIOR (TLI) o TEOREMA ESTÁTICO:


 Una carga externa calculada a partir de una distribución de esfuerzos internos adoptada, que cumple 

las condiciones: - Estar en equilibrio con la carga aplicada - No superar en ningún punto el límite 

plástico, Es siempre MENOR o igual que la verdadera carga de colapso. Por lo tanto es “SEGURA“.



OBS: Para estar en equilibrio con la carga externa, solamente debe verificarse: ∂ 2Mx / ∂x 2 +

 ∂ 2My / ∂y 2 + 2 ∂ 2 Mxy / ∂x ∂x = -q Observar que las infinitas soluciones posibles 

incluyen a la solución de la teoría elástica.


El TLI implica encontrar un esquema de Esfuerzos Internos (Momento, Corte, etc) que simplemente 

cumpla las ecuaciones de equilibrio interno. En el caso de las placas planas, la ecuación diferencial

 de equilibrio es la que se muestra arriba. CUALQUIER juego de funciones MX(x, y), My(x,y), 

Mxy(x,y) que cumplan la ecuación diferencial, siempre que en ningún punto (x,y) se superen los 

valores de MPlástico, cumple con el TLI. Como se tiene tres funciones incógnita, y una sola 

ecuación diferencial, se deduce inmediatamente que existen infinitas soluciones posibles. Entre todas 

ellas se encuentra la solución elástica, como un caso particular. IMPORTANTE: Los resultados

 obtenidos mediante la aplicación de este Teorema son SEGUROS, porque predicen que la estructura

 colapsa con una carga que es siempre menor, o a lo sumo igual, a la verdadera carga de colapso.



TEOREMA DEL LÍMITE INFERIOR (TLI) o TEOREMA ESTÁTICO:


(Continuación) Despreciando los Mxy: ∂ 2Mx / ∂x 2 + ∂ 2My / ∂y 2 = -q ( 1 ) Ejemplo: Placa

 cuadrada de lado L, se adopta: My=0 ; Mx = -4 Mo/L2 *x(L-x), siendo Mo: Momento máximo en el 

centro de la placa, asumido igual al momento último (para cumplir estrictamente la segunda 

condición) Esta función cumple (1) siempre que sea qu = 8Mo/L2 Observar que la solución elástica 

daría (OJO: para el caso de placas sin torsión):


qu = 13.1 Mo/L2


Por ejemplo, si se tiene una placa cuadrada de lados Lx=Ly=L, se puede proponer la función My de 

la figura, y encontrar una de las infinitas soluciones posibles, siempre que se dimensione a la placa 

para que su Momento Plástico sea mayor o igual al valor máximo:



Mpl ≥ Mo


Otra alternativa sería repartir “mitad y mitad” la solución entre los momentos Mx y My, haciendo 

por ejemplo (y siendo siempre Mxy=0):


Mx = -0.50 Mo/L2 x(L-x)

My = -0.50 Mo/L2 y(L-y)


Funciones que cumplen la ED de equilibrio, siempre que sea, una vez más:


q = 8 Mo / L2



TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR (TLS) o TEOREMA CINEMÁTICO:


Una carga externa calculada a partir de un mecanismo cinemático adoptado (compatible con los 

vÍnculos) que cumple la condición: - Estar en equilibrio con la carga aplicada Es siempre MAYOR o 

igual que la verdadera carga de colapso. Por lo tanto es “INSEGURA“.



El TLS involucra el planteo de un MECANISMO DE COLAPSO que sea posible, es decir, que sea 

cinemáticamente compatible con los vínculos de la estructura. La única condición que se aplica en 

este caso es que los esfuerzos internos estén en equilibrio con las cargas externas. Este Teorema se

 utilizará en lo que resta del desarrollo del tema, por lo que no se da en este momento ningún ejemplo

 como en el caso del TLI. IMPORTANTE: Los resultados obtenidos mediante la aplicación de este

 Teorema son INSEGUROS, porque predicen que la estructura colapsa con una carga que es siempre 

mayor, o a lo sumo igual, a la verdadera carga de colapso.



















VIDEO DE TEOREMA DE LIMITE INFERIOR Y SUPERIOR


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