TEOREMA DE LÍMITE INFERIOR Y SUPERIOR
TEOREMAS DE ANÁLISIS PLÁSTICO
Teorema de límite
inferior (teorema estático)
• Campo tensional
en equilibrio con acciones exteriores
• Respeta ecuación
constitutiva Reacciones menores o iguales a la de falla
Teorema de límite
superior (teorema cinemático)
• Mecanismo con
trabajo igual a energía disipada
HIPÓTESIS:
Todas las cargas
externas se incrementan proporcionalmente al mismo tiempo - El comportamiento
del material es Rígido-Plástico - Las deformaciones son pequeñas Se pueden
enunciar dos teoremas:
1) TEOREMA DEL LÍMITE INFERIOR (TLI) o TEOREMA ESTÁTICO
2) TEOREMA DEL LÍMITE SUPERIOR (TLS) o TEOREMA CINEMÁTICO
El análisis
plástico de todos los tipos de estructuras (de barras, placas, cáscaras y
volumétricas) se
basa en dos pilares fundamentales, que son los 2 Teoremas del
Análisis Plástico cuyos nombres se
citan arriba. Adicionalmente, en el caso del
análisis de placas que se estudia en este curso, se agregan
las hipótesis
adicionales de aplicación monotónica de cargas, comportamiento rígido plástico
de las
secciones, y pequeñas deformaciones.
TEOREMA DEL LÍMITE
INFERIOR (TLI) o TEOREMA ESTÁTICO:
Una carga externa calculada a partir de una
distribución de esfuerzos internos adoptada, que cumple
las condiciones: -
Estar en equilibrio con la carga aplicada - No superar en ningún punto el
límite
plástico, Es siempre MENOR o igual que la verdadera carga de colapso.
Por lo tanto es “SEGURA“.
OBS: Para estar en equilibrio con la carga externa, solamente debe
verificarse: ∂ 2Mx / ∂x 2 +
∂ 2My / ∂y 2 + 2 ∂ 2 Mxy / ∂x ∂x = -q Observar que
las infinitas soluciones posibles
incluyen a la solución de la teoría elástica.
El TLI implica
encontrar un esquema de Esfuerzos Internos (Momento, Corte, etc) que
simplemente
cumpla las ecuaciones de equilibrio interno. En el caso de las
placas planas, la ecuación diferencial
de equilibrio es la que se muestra
arriba. CUALQUIER juego de funciones MX(x, y), My(x,y),
Mxy(x,y) que cumplan la
ecuación diferencial, siempre que en ningún punto (x,y) se superen los
valores
de MPlástico, cumple con el TLI. Como se tiene tres funciones incógnita, y una
sola
ecuación diferencial, se deduce inmediatamente que existen infinitas
soluciones posibles. Entre todas
ellas se encuentra la solución elástica, como
un caso particular. IMPORTANTE: Los resultados
obtenidos mediante la aplicación
de este Teorema son SEGUROS, porque predicen que la estructura
colapsa con una
carga que es siempre menor, o a lo sumo igual, a la verdadera carga de colapso.
TEOREMA DEL LÍMITE
INFERIOR (TLI) o TEOREMA ESTÁTICO:
(Continuación)
Despreciando los Mxy: ∂ 2Mx / ∂x 2 + ∂ 2My / ∂y 2 = -q ( 1 ) Ejemplo: Placa
cuadrada de lado L, se adopta: My=0 ; Mx = -4 Mo/L2 *x(L-x), siendo Mo: Momento
máximo en el
centro de la placa, asumido igual al momento último (para cumplir
estrictamente la segunda
condición) Esta función cumple (1) siempre que sea qu
= 8Mo/L2 Observar que la solución elástica
daría (OJO: para el caso de placas
sin torsión):
qu = 13.1 Mo/L2
Por ejemplo, si se
tiene una placa cuadrada de lados Lx=Ly=L, se puede proponer la función My de
la figura, y encontrar una de las infinitas soluciones posibles, siempre que se
dimensione a la placa
para que su Momento Plástico sea mayor o igual al valor
máximo:
Mpl ≥ Mo
Otra alternativa
sería repartir “mitad y mitad” la solución entre los momentos Mx y My, haciendo
por ejemplo (y siendo siempre Mxy=0):
Mx = -0.50 Mo/L2
x(L-x)
My = -0.50 Mo/L2
y(L-y)
Funciones que
cumplen la ED de equilibrio, siempre que sea, una vez más:
q = 8 Mo / L2
TEOREMA DEL LÍMITE
SUPERIOR (TLS) o TEOREMA CINEMÁTICO:
Una carga externa
calculada a partir de un mecanismo cinemático adoptado (compatible con los
vÍnculos) que cumple la condición: - Estar en equilibrio con la carga aplicada
Es siempre MAYOR o
igual que la verdadera carga de colapso. Por lo tanto es
“INSEGURA“.
El TLS involucra
el planteo de un MECANISMO DE COLAPSO que sea posible, es decir, que sea
cinemáticamente compatible con los vínculos de la estructura. La única
condición que se aplica en
este caso es que los esfuerzos internos estén en
equilibrio con las cargas externas. Este Teorema se
utilizará en lo que resta
del desarrollo del tema, por lo que no se da en este momento ningún ejemplo
como en el caso del TLI. IMPORTANTE: Los resultados obtenidos mediante la
aplicación de este
Teorema son INSEGUROS, porque predicen que la estructura
colapsa con una carga que es siempre
mayor, o a lo sumo igual, a la verdadera
carga de colapso.
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