VIGAS PARED
INTRODUCCIÓN
El diseño estructural óptimo
permite obtener la mejor solución de acuerdo a criterios preestablecidos y
verificar todas las restricciones impuestas. Se basa en una combinación de las
teorías de mecánica estructural y optimización matemática desde un enfoque
computacional. Por lo tanto, el diseño de estructuras compuestas está ligado a
dos aspectos fundamentales: el modelo estructural mediante el cual se obtiene
la respuesta del sistema y las técnicas de optimización que permiten obtener la
solución óptima del problema de diseño.
En los últimos años, se ha
incrementado considerablemente la implementación de métodos de diseño basados
en optimización matemática para el cálculo y análisis de estructuras de pared
delgada construidas tanto con materiales isótropos y como compuestos. Entre las
contribuciones realizadas en esta área para estructuras isótropas, se pueden
mencionar los trabajos de Magnucki et al. (2006),
Tian et al. (2004), Manevich et al. (2007) y Karperska et al. (2007), entre
otros. En particular, Manevich et al. (2007) y Kasperska et al. (2007)
propusieron esquemas de diseño basados en la minimización de múltiples
objetivos a través de una función global expresada en términos de coeficientes
de peso arbitrarios. Desde el punto de vista del diseño de estructuras
esbeltas construidas con laminados compuestos, Savic et al. (2001) estudiaron la maximización de las rigideces
equivalentes flexionales y axiales de vigas de sección transversal tipo I,
utilizando los ángulos de orientación de las fibras como variables de diseño. Kathiravan y
Ganguli (2006) formularon un problema de diseño óptimo de una viga tipo cajón,
considerando la maximización de la resistencia de acuerdo al criterio de falla
de Tsai-Wu–Hahn como objetivo principal. Erdal y Sonmez (2005) utilizaron la
máxima capacidad de carga de pandeo como objetivo principal en el diseño de
placas compuestas. Por su parte, Dávalos y Qiao (1999) formularon un diseño
multiobjetivo de vigas PRF (Plásticas Reforzadas con Fibras) de sección abierta
o cerrada.
En el presente trabajo se propone un esquema de diseño que permite
hallar las dimensiones óptimas de la estructura y la mejor secuencia de
laminación posible con el objetivo de minimizar el desplazamiento total en la
estructura y el peso de la misma de manera equitativa. Tal esquema está
destinado al diseño de vigas PRF con laminación ortótropa o cross-ply sometidas
a cargas estáticas nominales en superposición con cargas dinámicas secundarias.
El espacio de soluciones factibles se encuentra restringido por condiciones de
resistencia, pandeo global, pandeo local, desplazamientos máximos y condiciones
geométricas. El modelo estructural está basado en el principio de
Hellinger-Reissner, mientras que el problema de diseño se resuelve aplicando la
técnica Simulated Annealing (SA) y su variante Simulated Annealing Caótico (SAC).
ESQUEMA DE DISEÑO ÓPTIMO
Se propone
diseñar una viga que estará sometida a dos estados de carga: un estado de carga
nominal, compuesto por cargas estáticas, y un estado de carga secundario,
compuesto por cargas dinámicas con una variación temporal armónica conocida.
Para ello, se plantea un problema de optimización convencional con las
siguientes características
Se pretende que la estructura a diseñar sea liviana y que, a su vez, los
desplazamientos que se produzcan en la misma sean mínimos. Para ello, se
plantea el problema de optimización como un problema multiobjetivo que minimiza
una función normalizada mediante el método de funciones de peso (Rao, 1996). La
función objetivo global es expresada, en términos generales, de la siguiente
manera
Para cumplir con los objetivos propuestos, se emplea un bi-criterio de
optimización (kf = 2) que minimiza en forma conjunta el peso propio
de la estructura y su desplazamiento máximo. Luego, las funciones objetivo a
evaluar están dadas por el máximo valor del desplazamiento absoluto en la
estructura (δ) y por el área de la sección transversal (A), la cual
representa en una forma simple e indirecta al peso de la viga. Como
caso particular, se considera el factor de peso igual a 0.5, de manera de
minimizar el desplazamiento máximo y el peso con igual importancia. Por lo
tanto, la función objetivo global es expresada de manera adimensional como donde las funciones objetivo son normalizadas
respecto a valores de referencia de área y de desplazamiento preestablecidos, A0
y δ0 respectivamente.
Figura 1: Detalle de las dimensiones de la sección transversal de un perfil tipo I.
El vector
de las variables de diseño, x, se considera compuesto por las dimensiones de la
sección transversal de la viga (b, h), los ángulos de orientación de las fibras
del laminado (θk) y el número de capas del laminado
(nc), como se indica en la Figura 1. Luego, el vector de las variables de diseño queda definido de la
siguiente manera
x={b h n, , c ,θk }.
El espesor de cada una de las capas del
laminado (ec) es preestablecido y se considera igual para todas
ellas. Por lo tanto, el espesor total de la paredes de la sección transversal
(e) queda determinado por el producto entre el número de capas y el espesor de
cada una de ellas (e = ncec). Por su parte, todas las
variables pertenecen a dominios discretos limitados superior e inferiormente.
Como se indicó en la expresión (1), en el diseño se consideran restricciones de
desigualdad (gi(x)) que pueden ser clasificadas en dos categorías
según la incumbencia de cada una de ellas: restricciones estructurales y
restricciones geométricas.
Las restricciones estructurales tienen en cuenta exigencias de pandeo
global, pandeo local, desplazamientos máximos, resistencia estática y
resistencia a fatiga del laminado. Las mismas pueden ser expresadas de la
siguiente manera donde λ es el parámetro de carga crítica de pandeo
global, λL es el parámetro de carga crítica
local, δ es el
desplazamiento total máximo, Rmin es el factor de seguridad evaluado
de acuerdo al criterio de falla de Tsai-Wu y CT-HE evalúa la resistencia a
fatiga del laminado de acuerdo al Criterio de falla por fatiga de Tsai-Hill
Extendido. La manera en que se evalúa a cada uno de estos parámetros será detallada
en las secciones siguientes.
Adicionalmente, se establece un límite superior para los desplazamientos
máximos, menor al convencional con el fin de asegurar que la estructura no
entre en resonancia, evitando de esta manera el cálculo de frecuencias
naturales durante el proceso de optimización. Luego, el desplazamiento máximo
permitido en la estructura esta dado por las
restricciones geométricas se aplican en forma directa sobre las variables de
diseño. Se establece que las dimensiones de la sección transversal sean
positivas y se limitan de manera que la estructura se comporte como una viga de
pared delgada, estableciendo un valor máximo del espesor en función de la base
y de la altura de la viga de la siguiente manera en cuanto a las restricciones aplicadas sobre
la laminación, se establece que el ángulo de orientación de las fibras (θk) sólo pueda adoptar los valores 0º y 90º de
manera de constituir un laminado ortótropo ([0nc]) ó cross-ply ([0/90]s,
[0nc/2/90nc/2]). Estas limitaciones se deben a las
hipótesis adoptadas para el cálculo de las restricciones de pandeo local y de
resistencia a fatiga, como se describirá en detalle más adelante.
En
síntesis, el problema de optimización que define el esquema de diseño
descripto, es expresado de la siguiente forma.
ECUACIONES BÁSICAS Y MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
En esta sección se exponen las ecuaciones
básicas que describen el comportamiento estructural de la viga analizada y los
métodos empleados para la implementación numérica del problema de optimización.
Este análisis permite determinar los parámetros que intervienen en la función
objetivo y en las restricciones.
Los desplazamientos, las tensiones y los
parámetros críticos de pandeo global que se producen en la viga se obtienen a
partir del modelo unidimensional que se describirá en la sección 3.1,
implementado a partir del método de los elementos finitos. Una vez determinadas
tales características, se evalúa, por un lado, la resistencia estática en base
al criterio de falla de Tsai-Wu y, por otro lado, la resistencia a fatiga del
laminado a partir del Criterio de Tsai-Hill Extendido (CT-HE). Ambos criterios
son explicados brevemente en las secciones 3.2 y 3.3, respectivamente.
Los parámetros críticos de pandeo local se
evalúan en forma aproximada empleando las soluciones analíticas que estiman los
valores de las cargas de pandeo local en vigas de acuerdo a lo desarrollado por
Reguera y
Cortínez (2012). En la
sección 3.4 se expone un breve resumen acerca de las hipótesis adoptadas para
su obtención, mientras que las soluciones analíticas aproximadas
correspondientes pueden verse en el trabajo de los autores referenciado
previamente.
Se
describen, por último, las técnicas de optimización empleadas para la
resolución del problema de optimización.
Modelo
de vigas de pared delgada PRF
El análisis estructural se realiza en base a un
modelo unidimensional que considera deformabilidad por corte debida a flexión y
a alabeo por torsión no uniforme. Este modelo permite realizar el análisis
lineal de vigas rectas y curvas de pared delgada construidas con materiales PRF
con laminación simétrica y balanceada. Mediante su implementación numérica se
obtienen las características estructurales involucradas en el diseño de la
estructura (desplazamientos, tensiones y cargas de pandeo global). Esta teoría
ha sido presentada y validada en diferentes trabajos (Cortínez y Piovan, 2002; Cortínez y Piovan, 2006) y su extensión para el tratamiento
de vigas de eje curvo fue desarrollado por Reguera (2013). A continuación se presenta un resumen del modelo para el caso
particular de vigas de eje recto.
Figura 2: Esquema de viga de pared delgada genérica de eje recto de sección abierta.
Se considera una viga de sección genérica de paredes delgadas que se muestra en la Figura 2. Los puntos del elemento estructural son referidos a dos sistemas de referencia: un sistema de coordenadas cartesiano ortogonal (C: x, y, z), donde el punto de referencia C coincide con el centro de gravedad de la sección transversal, y otro sistema con origen en el centro de corte (O:
Los desplazamientos lineales y no lineales de un punto genérico de la
viga se expresan en términos de las coordenadas de la sección transversal y de
los desplazamientos generalizados, estableciendo el campo de desplazamientos de
la siguiente manera
donde ω es la función de alabeo de la sección
transversal. Los desplazamientos generalizados, que corresponden a siete grados
de libertad, se asocian a los cuatro movimientos desacoplados básicos de una
viga recta: extensional (u), flexional lateral (v, θz),
flexional transversal (w, θy) y torsional (φx, θx).
Luego, el
desplazamiento total de la estructura que define a una de las funciones
objetivo y a la restricción g3 está dado por los desplazamientos pueden también expresarse en el
sistema intrínseco (B: x, s, n) de la siguiente manera donde UL, VL, WL,
UNL, VNL y WNL son los desplazamientos placa
lineales (L) y no-lineales (NL) en las direcciones x, s y n, respectivamente, y
Φx y Φs son rotaciones flexionales con respecto a las
direcciones s y n, respectivamente.
Las
componentes lineales y no lineales del tensor de deformaciones de
Green-Lagrange para el caso de vigas rectas están dadas por
Así pues, reemplazando las expresiones del campo de
desplazamientos (9) en las ecuaciones (11) y
su resultado en las ecuaciones (12), se obtienen las componentes del tensor de
deformaciones en función de los desplazamientos generalizados.
Criterios de
falla por fatiga (CT-HE)
Para predecir la resistencia a fatiga de
laminados FRP, en este trabajo se hace uso del Criterio de falla de Tsai-Hill
Extendido (CT-HE) propuesto por Jen y Lee (1998a; 1998b). Los autores mencionados extienden el conocido
criterio de falla de Tsai-Hill para predecir las características a fatiga de
láminas unidireccionales. Demuestran además que el criterio puede ser empleado
satisfactoriamente para el análisis de laminados cuasi-isótropos y laminados
cross-ply. Aquí se asume, al igual que en el análisis estático, que la falla de
un laminado multi-direccional puede ser representada por la falla de la primera
lámina.
Para establecer el criterio CT-HE, primeramente se definen las
relaciones de tensión según las siguientes expresiones
donde L(N, R1) y l(N, R1)
son las resistencias a fatiga de tracción y compresión, respectivamente, en la
dirección de la fibra, T(N, R2) y t(N, R2) son las
resistencias a fatiga de tracción y compresión, respectivamente, en la
dirección transversal a la fibra y τ(N, R12) es la resistencia a fatiga por corte, siendo N el
número de ciclos. Estas resistencias deben ser determinadas experimentalmente (Jen y Lee, 1998a) y dependen del número de ciclos y
de las relaciones entre tensiones definidas en (45). Tales valores se determinan para diferentes
relaciones R y para un número crítico de ciclos. En particular, cuando Ri
es igual a la unidad se hace referencia a las resistencias estáticas de la
lámina.
Cabe aclarar que si bien el criterio CT-HE es
aplicable a laminaciones simétricas, los autores advierten que para láminas con
fibras orientadas a ±45º el criterio no ofrece buenos resultados, en
comparación con ensayos experimentales.
En este
caso, el cálculo de las componentes de tensión máximas y mínimas se realiza de
manera análoga a lo explicado anteriormente para la aplicación del criterio de
falla de TsaiWu. Luego, la condición de resistencia a la fatiga (g5)
se verifica si la expresión de la izquierda en las ecuaciones (46) es menor a 1.
3.4 Modelo
de placas para el análisis de pandeo local
La inestabilidad local es una restricción
importante que debe considerarse al plantear el problema de diseño cuando se
trata de vigas de paredes delgadas. La carga crítica de pandeo local se evalúa
en forma simplificada, empleando las fórmulas analíticas desarrolladas y
publicadas en Reguera
y Cortínez (2012).
En dicho análisis se modela cada segmento de la
sección transversal como una placa de gran longitud, asumiendo que los ejes
comunes a dos o más placas permanecen rectos, como se muestra en la Figura 3. La resultante de tensión de pandeo
se determina considerando a cada pared de la viga como una placa individual
restringida rotacionalmente por el segmento adyacente. Dichos valores son
comparados con las resultantes de tensión en el espesor de la viga en la
dirección x, obtenidas de acuerdo al modelo unidimensional adoptado. Luego,
para verificar la condición de pandeo local (g2), se evalúa el
factor de carga crítica local (λL)
definido como la relación entre ambas resultantes de tensión.
Cabe
aclarar que las expresiones analíticas que definen al factor de carga crítica
local se obtienen despreciando los acoplamientos flexo-torsionales en el
laminado. Dicha hipótesis, en adición a las restricciones impuestas por la
aplicación del criterio CT-HE, condicionan a la variable de diseño θk, provocando que el ángulo de orientación de
las fibras sólo pueda adoptar los valores 0º y 90º de manera de constituir un
laminado ortótropo ([0nc]) ó cross-ply ([0/90]s, [0nc/2/90nc/2]).
Figura 3: Esquema de análisis del pandeo local en una viga tipo I.
Técnicas de optimización
En la Figura 4 se muestra un esquema general de la
técnica Simulated Annealing. Para implementar este algoritmo exitosamente es
necesario tomar una serie de decisiones en lo que se refiere al control de la
temperatura. La temperatura inicial debe ser lo suficientemente alta para que
la solución final sea independiente de la solución inicial y para que al
iniciar el algoritmo todas las soluciones puedan ser aceptadas con una
probabilidad similar. Una expresión adecuada de la temperatura inicial (T0)
fue propuesta por Dréo y Pétrowski (2006)
T0 = r max(∆Cij ),
donde ∆Cij es la diferencia entre
los valores extremos de la función objetivo y r es una constante mayor que 1.
Por otro lado, la función que determina y
controla el descenso de la temperatura tiene un papel importante en la
eficiencia del método, puesto que define el criterio de convergencia del
algoritmo. En este trabajo se aplica el esquema de enfriamiento desarrollado
por Vidal
(2003), siendo su
principal objetivo establecer parámetros que permitan obtener un equilibrio
entre el tiempo final de ejecución del algoritmo y el número de búsquedas que
realice el mismo. De esta manera, se plantea disminuir la temperatura según el
siguiente criterio.
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